Les quaternions
Les quaternions sont des nombres qui généralisent les nombres complexes, un peu comme les nombres complexes généralisent les nombres réels.
Un quaternion est décrit par quatre réels, $z=a+bi+cj+dk$, de sorte qu'on peut identifier
l'ensemble $\mathbb{H}$ des quaternions et $\mathbb{R}^4$, et ils forment une algèbre non commutative sur $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire qu'on peut additionner et multiplier les quaternions, et les multiplier par des nombres réels) avec $i^2=j^2=k^2=-1$ et $ij=-ji=k$, $jk=-kj=i$, $ki=-ik=j$. Ces règles suffisent à décrire complètement la loi de multiplication.
l'ensemble $\mathbb{H}$ des quaternions et $\mathbb{R}^4$, et ils forment une algèbre non commutative sur $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire qu'on peut additionner et multiplier les quaternions, et les multiplier par des nombres réels) avec $i^2=j^2=k^2=-1$ et $ij=-ji=k$, $jk=-kj=i$, $ki=-ik=j$. Ces règles suffisent à décrire complètement la loi de multiplication.
Les structures complexes et presque complexes
Une variété de dimension $4$, par exemple un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^4$, peut parfois être munie d'une structure complexe, c'est-à-dire d'un atlas formé de cartes, difféomorphismes (sur leur image) $\varphi:V\to U$ avec $V\subset \mathbb{C}^2$ tels que les changements de carte soient des biholomorphismes. Ces cartes permettent d'identifier localement la variété à $\mathbb{C}^2$, et la condition sur les changements de carte assure qu'aucune des propriétés intrinsèques (au sens invariante par biholomorphisme) des objets sur $U$ (fonctions, etc.) ne dépend de la carte choisie pour faire cette identification.
Une structure complexe induit notamment, pour chaque point $x\in U$, un automorphisme $J_x$ de l'espace tangent en $x$ (ici $\mathbb{R}^4$) tel que $J_x^2=-\mathrm{Id}$. En effet, il suffit de définir sur $\mathbb{C}^2$ un tel automorphisme comme la multiplication par $i$, et le pousser sur $\mathbb{R}^4$ par la différentielle en $\varphi^{-1}(x)$ de n'importe quelle carte $\varphi$.
On peut aussi abstraitement se donner un champ d'endomorphismes $x\mapsto J_x$ tels que $J_x^2=-1$ ; on parle alors de structure presque complexe sur $U$. Étant donné une structure presque complexe, la question se pose de savoir si elle provient en fait d'une structure complexe (on dit alors qu'elle est intégrable). On sait depuis le théorème de Newlander-Nirenberg qu'une structure presque complexe est intégrable si et seulement si un certain tenseur calculé à l'aide des $J_x$, dit de Nijenhuis, est identiquement nul.
Une question célèbre demande par exemple s'il existe une structure complexe sur la sphère $\mathbb{S}^6$ ; les structures presque complexes que l'on sait y construire ne sont en effet pas intégrables.
Une structure complexe induit notamment, pour chaque point $x\in U$, un automorphisme $J_x$ de l'espace tangent en $x$ (ici $\mathbb{R}^4$) tel que $J_x^2=-\mathrm{Id}$. En effet, il suffit de définir sur $\mathbb{C}^2$ un tel automorphisme comme la multiplication par $i$, et le pousser sur $\mathbb{R}^4$ par la différentielle en $\varphi^{-1}(x)$ de n'importe quelle carte $\varphi$.
On peut aussi abstraitement se donner un champ d'endomorphismes $x\mapsto J_x$ tels que $J_x^2=-1$ ; on parle alors de structure presque complexe sur $U$. Étant donné une structure presque complexe, la question se pose de savoir si elle provient en fait d'une structure complexe (on dit alors qu'elle est intégrable). On sait depuis le théorème de Newlander-Nirenberg qu'une structure presque complexe est intégrable si et seulement si un certain tenseur calculé à l'aide des $J_x$, dit de Nijenhuis, est identiquement nul.
Une question célèbre demande par exemple s'il existe une structure complexe sur la sphère $\mathbb{S}^6$ ; les structures presque complexes que l'on sait y construire ne sont en effet pas intégrables.
Des quaternions aux structures presque complexes
Revenons aux quaternions. Les nombres $i,j,k$ sont de carré égal à $-1$, mais ce sont loin d'être les seuls. En effet, en écrivant $z=a+bi+cj+dk$ on a $z^2=(a^2-b^2-c^2)+2abi+2acj+2adk$ donc $z^2=-1$ si et seulement si $a=0$ et $b^2+c^2+d^2=1$.
Ainsi, les quaternions $z$ qui sont des racines carrées de l'unité sont exactement les imaginaires purs ($a=0$) de norme $1$ (pour la structure euclidienne canonique de $\mathbb{R}^4$). Ils forment une sphère de dimension $2$, que l'ont dénotera par $\mathbb{S}\subset \mathbb{H}$.
Ainsi, si on se donne un ouvert $U\subset \mathbb{H}$ et une application lisse $I:U\to\mathbb{S}$, on obtient une structure presque complexe sur $U$ en posant $J_x(v):=I(x)v$!
Il est alors naturel de se demander :
À quelle condition sur $I$ cette structure presque-complexe est-elle intégrable ?
Quand elle l'est, on l'appelle une structure complexe orthogonale sur $U$. Si $I$ est constante, on dit que la structure est triviale.
Étant donné $U$, existe-t-il des structures complexes orthogonales non-triviale ? Y en a-t-il beaucoup ? Les variétés complexes obtenues ont-elles des propriétés particulières ?
Ainsi, les quaternions $z$ qui sont des racines carrées de l'unité sont exactement les imaginaires purs ($a=0$) de norme $1$ (pour la structure euclidienne canonique de $\mathbb{R}^4$). Ils forment une sphère de dimension $2$, que l'ont dénotera par $\mathbb{S}\subset \mathbb{H}$.
Ainsi, si on se donne un ouvert $U\subset \mathbb{H}$ et une application lisse $I:U\to\mathbb{S}$, on obtient une structure presque complexe sur $U$ en posant $J_x(v):=I(x)v$!
Il est alors naturel de se demander :
À quelle condition sur $I$ cette structure presque-complexe est-elle intégrable ?
Quand elle l'est, on l'appelle une structure complexe orthogonale sur $U$. Si $I$ est constante, on dit que la structure est triviale.
Étant donné $U$, existe-t-il des structures complexes orthogonales non-triviale ? Y en a-t-il beaucoup ? Les variétés complexes obtenues ont-elles des propriétés particulières ?
Des résultats et des questions
On sait construire des exemples de plusieurs façons. L'une des plus simple consiste à prendre pour $U$ le complémentaire d'un point, de sorte que $U$ est l'image de $\mathbb{R}^4$ par une transformation de Moebius $\Phi$ (i.e. une transformation conforme) qui n'est pas la composée d'une similitude et d'une translation. Le poussé en avant d'une application $I$ constante sur $\mathbb{R}^4$ par $\Phi$ est alors une structure complexe orthogonale non constante sur $U$. On peut qualifier cette construction de presque triviale... mais dans certains cas on ne peut rien faire de plus.
Théorème (Wood 1992, Inter. J. Math.) - Toute structure complexe orthogonale sur $\mathbb{R}^4$ entier est triviale.
Théorème (Salamon-Viaklovsky 2009, Math. Ann.) - Toute structure complexe orthogonale définie sur $\mathbb{R}^4$ privé d'un fermé de mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle nulle est soit triviale, soit la restriction d'une structure presque triviale (au sens ci-dessus) sur le complémentaire d'un point.
En particulier, on voit que si $U$ est suffisamment gros, les structures complexes orthogonales sont rares, rigides, et s'étendent au complémentaire d'une point ou à $\mathbb{R}^4$ tout entier.
Théorème (Salamon-Viaklovsky 2009, Math. Ann.) - Au signe près, il exsite une unique structure complexe orthogonale définie sur le complémentaire d'une droite et ne s'étendant à aucun ouvert plus grand, obtenue de la façon suivante. Quitte à appliquer une rotation, on prend comme droite la droite des réels de $\mathbb{H}$ (i.e. $b=c=d=0$) des
quaternions. À tout $z=a+bi+cj+dk$ non réel, on associe simplement $I(z)=(b^2+c^2+d^2)^{-1/2}(bi+cj+dk)$, sa partie imaginaire normalisée.
Ce dernier exemple permet aussi de construire des exemples maximaux (i.e. ne s'étendant à aucun ouvert contenant $U$) uniques sur le complémentaire d'un cercle. À ma connaissance la question suivante est très largement ouverte.
Question - Déterminer les ouverts $U$ qui admettent une structure complexe orthogonale ne s'étendant à aucun ouvert contenant $U$.
On trouvera d'autres résultats sur le sujet et des référence dans l'article http://arxiv.org/abs/1205.3513 par Graziano Gentili, Simon Salamon et Caterina Stoppato (paru au Journal of the EMS).
Théorème (Wood 1992, Inter. J. Math.) - Toute structure complexe orthogonale sur $\mathbb{R}^4$ entier est triviale.
Théorème (Salamon-Viaklovsky 2009, Math. Ann.) - Toute structure complexe orthogonale définie sur $\mathbb{R}^4$ privé d'un fermé de mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle nulle est soit triviale, soit la restriction d'une structure presque triviale (au sens ci-dessus) sur le complémentaire d'un point.
En particulier, on voit que si $U$ est suffisamment gros, les structures complexes orthogonales sont rares, rigides, et s'étendent au complémentaire d'une point ou à $\mathbb{R}^4$ tout entier.
Théorème (Salamon-Viaklovsky 2009, Math. Ann.) - Au signe près, il exsite une unique structure complexe orthogonale définie sur le complémentaire d'une droite et ne s'étendant à aucun ouvert plus grand, obtenue de la façon suivante. Quitte à appliquer une rotation, on prend comme droite la droite des réels de $\mathbb{H}$ (i.e. $b=c=d=0$) des
quaternions. À tout $z=a+bi+cj+dk$ non réel, on associe simplement $I(z)=(b^2+c^2+d^2)^{-1/2}(bi+cj+dk)$, sa partie imaginaire normalisée.
Ce dernier exemple permet aussi de construire des exemples maximaux (i.e. ne s'étendant à aucun ouvert contenant $U$) uniques sur le complémentaire d'un cercle. À ma connaissance la question suivante est très largement ouverte.
Question - Déterminer les ouverts $U$ qui admettent une structure complexe orthogonale ne s'étendant à aucun ouvert contenant $U$.
On trouvera d'autres résultats sur le sujet et des référence dans l'article http://arxiv.org/abs/1205.3513 par Graziano Gentili, Simon Salamon et Caterina Stoppato (paru au Journal of the EMS).